Mozzarella abtropfen lassen und fein würfeln. Zwiebel schälen, fein hacken und in Öl anschwitzen. Knoblauch dazupressen, kurz mitdünsten und dann abkühlen lassen. Mozzarella, Kräuter und Brösel untermischen. Die Masse mit Salz, Pfeffer und Thymian abschmecken. Backrohr auf 180 Grad vorheizen. Pfanne mit Öl ausstreichen. Putenbrust der Länge nach zweimal, ca. 2/3 tief einschneiden. Fleisch rundum mit Salz und Pfeffer würzen. Die Käsemasse in die Einschnitte füllen.
Schweinsnetz unter fließendem Wasser gut spülen, behutsam ausdrücken und glatt auflegen. Putenbrust auf das Netz legen und darin einschlagen. In die Pfanne setzen und mit etwas Öl beträufeln. Im Rohr ca. 1 Stunde braten. Nach 20 Minuten Bratzeit 1/3 der Suppe zugeben, restliche Suppe nach und nach zugießen.
Fleisch aus der Pfanne heben, mit Alufolie zugedeckt warm stellen. Bratensaft (ca. 3/8 l, event. mit Suppe ergänzen) aufkochen und durch Einrühren der Butter binden, Sauce nicht mehr kochen. Braten in Scheiben schneiden und mit der Sauce anrichten.